その後、イギリス有力レーベルBeggars Banquetと契約（現在は4ADへ統合されている）、2005年にリリースしたサード・アルバム『Alligator』は、Uncutを筆頭に数々の音楽媒体の年間ベスト・アルバムに選出され、彼らが本格的にブレイクするきっかけとなる。大きなフェスティヴァル出演や数回にもわたるツアーを重ね、その人気は世界的に急上昇する。そして2007年、13月間の制作帰還を経て4th『Boxer』を発表すると、PitchforkやRollingStone等英米の有力メディアから絶賛を持って迎えられる。この作品も数々の年間ベストに選出されると同時に、商業的にも成功しロング・ヒットとなる。同年にはREM『Accelerate.』ツアーのオープニングに抜擢されている。昨年、アーケイド・ファイアやダーティ・プロジェクターズ、アントニー等、現在のUS音楽シーンを代表する人気アーティストが全集結したAIDS撲滅のためのチャリティ・コンピレーション『Dark Was the Night』のキュレイターを務めたことでも話題となった。いまや現在のUSインディ・シーンの核となるバンドの一組である。